Олимпиадные задачи из источника «параграф 10. Точка Микеля» для 4-10 класса - сложность 4 с решениями

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности с центром <i>O</i>. Прямые <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>E</i>, а описанные окружности треугольников <i>AEC</i>и <i>BED</i>пересекаются в точках <i>E</i>и <i>P</i>. Докажите, что: а) точки <i>A</i>,<i>D</i>,<i>P</i>и <i>O</i>лежат на одной окружности; б) $\angle$<i>EPO</i>= 90^<tt>o</tt>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

Прямая пересекает стороны <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>треугольника (или их продолжения) в точках <i>C</i>₁,<i>B</i>₁и <i>A</i>₁; <i>O</i>,<i>O</i>_a,<i>O</i>_bи <i>O</i>_c — центры описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>,<i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>; <i>H&l...