Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Суммы векторов» для 1-9 класса - сложность 3-5 с решениями
параграф 4. Суммы векторов
НазадЧетырехугольник<i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>. а) Пусть <i>S</i><sub>a</sub> — окружность радиуса <i>R</i>с центром в ортоцентре треугольника<i>BCD</i>; окружности <i>S</i><sub>b</sub>,<i>S</i><sub>c</sub>и <i>S</i><sub>d</sub>определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке. б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>и <i>DAB</i>пересекаются в одной точке.
Четырехугольник<i>ABCD</i>вписанный. Пусть <i>H</i><sub>a</sub> — ортоцентр треугольника<i>BCD</i>,<i>M</i><sub>a</sub> — середина отрезка<i>AH</i><sub>a</sub>; точки <i>M</i><sub>b</sub>,<i>M</i><sub>c</sub>и <i>M</i><sub>d</sub>определяются аналогично. Докажите, что точки <i>M</i><sub>a</sub>,<i>M</i><sub>b</sub>,<i>M</i><sub>c</sub>и <i>M</i><sub>d</sub>совпадают.
Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i><sub>BOC</sub><sup> . </sup>$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + <i>S</i><sub>AOC</sub><sup> . </sup>$\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + <i>S</i><sub>AOB</sub><sup> . </sup>$\displaystyle \overrightarrow{OC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$. </div>