Олимпиадные задачи из источника «Иванов С.В., Математический кружок» для 8 класса - сложность 1 с решениями

Существует ли 25-звенная ломаная, пересекающая каждое свое звено ровно три раза?

В ряд выписаны числа от 1 до 9999. Как вычеркнуть из этой записи 100 цифр так, чтобы оставшееся число было a) максимальным b) минимальным?

Когда встречаются два жителя Цветочного города, один отдает другому монету в 10 копеек, а тот ему - 2 монеты по 5 копеек. Могло ли случиться так, что за день каждый из 1990 жителей города отдал ровно 10 монет?

Некто А загадал число от 1 до 15. Некто В задает вопросы на которые можно отвечать да" или нет". Может ли В отгадать число, задав a) 4 вопроса; б) 3 вопроса.

Квадрат<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31361/problem_31361_img_2.gif">раскрашен в два цвета. Можно любой прямоугольник<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31361/problem_31361_img_3.gif">перекрашивать в преобладающий в нем цвет. Доказать, что такими операциями можно сделать весь квадрат одноцветным.

30 команд сыграли турнир по олимпийской системе. Сколько всего было сыграно матчей?

Расставьте в ряд числа от 1 до 100 так, чтобы любые два соседних отличались по крайней мере на 50.

Как разрезать на единичные квадраты квадрат a)<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31357/problem_31357_img_2.gif">b)<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31357/problem_31357_img_3.gif">за наименьшее число разрезов. (Части при разрезании можно накладывать друг на друга).

Как с помощью наименьшего числа прямолинейных разрезов разрезать квадрат<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31356/problem_31356_img_2.gif">на единичные квадраты a) если части нельзя накладывать (т.екаждый раз можно разрезать только одну часть)

b) если части можно накладывать.

c) если перед разрезами квадрат можно сложить? (Ответ: достаточно одного разреза)

10 книг стоят больше 11 рублей, а 9 книг стоят меньше 10 рублей. Сколько стоит одна книга?

Доказать, что уравнение  4^<i>k</i>– 4^<i>l</i>= 10^<i>n</i>  не имеет решений в целых числах.

Доказать, что произведение шести последовательных натуральных чисел не может быть равно 776965920.

Найти все такие натуральные числа <i>p</i>, что <i>p</i> и  3<i>p</i>² + 1  – простые.

Доказать, что число  2 + 4 + 6 + ... + 2<i>n</i>  не может быть  a) квадратом;  б) кубом целого числа.

Доказать, что число вида  <i>n</i>⁴ + 2<i>n</i>² + 3  не может быть простым.

Найти все натуральные числа <i>p</i>, что <i>p</i>,  <i>p</i>² + 4  и  <i>p</i>² + 6  – простые числа.

Доказать, что  1·2·3 + 2·3·4 + ... + 98·99·100 ≠ 19891988.

Доказать, что следующие числа не являются квадратами:

  а) 12345678;  б) 987654;  в) 1234560;  d) 98765445.

Является ли число 12345678926 квадратом?

Найти все такие натуральные числа <i>p</i>, что <i>p</i> и  <i>p</i>² + 2  – простые.

Найти все такие натуральные числа <i>p</i>, что <i>p</i> и  5<i>p</i> + 1  – простые.

При каких <i>n</i>   <i>n</i>² – 6<i>n</i> – 4  делится на 13?

<i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3. Доказать, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24.

Найти   a) 3 последние цифры;   б) 6 последних цифр числа  1⁹⁹⁹ + 2⁹⁹⁹ + ... + (10⁶ – 1)⁹⁹⁹.

В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.

Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?