Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Графы» для 7 класса - сложность 3 с решениями
глава 5. Графы
Назада) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?
Есть волейбольная сетка 5×10. Какое максимальное число веревок, её составляющих, можно разрезать так, чтобы она не распалась?
а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.
В графе 20 вершин, степень каждой не меньше 10. Доказать, что в нём есть гамильтонов путь.
В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что можно проехать по всем городам, побывав в каждом по одному разу (то есть что в полном ориентированном графе есть <i>гамильтонов путь</i>).
В ориентированном графе 101 вершина. У каждой вершины число входящих и число выходящих рёбер равно 40. Доказать, что из каждой вершины можно попасть в любую другую, пройдя не более чем по трём ребрам.
20 команд сыграли круговой турнир по волейболу.
Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.
Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов. Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.