Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Делимость и остатки» для 7 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что существует такое натуральное <i>n</i>, что числа  <i>n</i> + 1,  <i>n</i> + 2,  ...,  <i>n</i> + 1989  – составные.

Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.

Докажите, что сумма <i>n</i> последовательных нечётных натуральных чисел при  <i>n</i> > 1  является составным числом.

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.

Найдите последнюю цифру числа  1² + 2² + ... + 99².

<i>p</i>,  4<i>p</i>² + 1  и  6<i>p</i>² + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

а) Может ли сумма квадратов двух нечётных чисел быть квадратом целого числа? б) Может ли сумма квадратов трёх нечётных чисел быть квадратом целого числа?

<i>p</i> и  <i>p</i>² + 2  – простые числа. Докажите, что  <i>p</i>² + 2  – также простое число.

а) <i>p,  p</i> + 10,  <i>p</i> + 14  – простые числа. Найдите <i>p</i>.б) <i>p</i>,  2<i>p</i> + 1,  4<i>p</i> + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Найдите последнюю цифру числа 7^7⁷.

Докажите, что  2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²²  делится на 7.

На какую цифру оканчивается число 777⁷⁷⁷?

Докажите, что сумма квадратов трёх натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.

<i>a, b, c</i> – целые числа, причём  <i>a + b + c</i>  делится на 6. Докажите, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³  тоже делится на 6.

Докажите, что  <i>n</i>³ + 2  не делится на 9 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Решите в целых числах уравнение:  <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 3 = 0.

Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что  56<i>a</i> = 65<i>b</i>.  Докажите, что &nbsp <i>a + b</i>  – составное число.

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.