Олимпиадные задачи из источника «глава 16. Неравенства» для 2-7 класса - сложность 1 с решениями

Докажите, что   ½ – ⅓ + ¼ – ⅕ + ... + ¹/₉₈ – ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > ⅕.

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Поместится ли все население Земли, все здания и сооружения на ней в куб с длиной ребра 3 километра?

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что  2^<i>n</i> ≥ 2<i>n</i>.

Докажите, что при  <i>x</i> ≥ 0  имеет место неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30879/problem_30879_img_2.gif">

Докажите, что при  <i>a, b, c</i> > 0  имеет место неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30876/problem_30876_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="middle" src="/storage/problem-media/30864/problem_30864_img_2.gif">   при <i>x, y</i> > 0.

Докажите, что  2(<i>x</i>² + <i>y</i>²) ≥ (<i>x + y</i>)²  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Докажите, что  ½ (<i>x</i>² + <i>y</i>²) ≥ <i>xy</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Если к числу 100 применить 99 раз операцию "факториал", то получится число <i>A</i>. Если к числу 99 применить 100 раз операцию "факториал", то получится число <i>B</i>. Какое из этих двух чисел больше?

Какое число больше:  100¹⁰⁰или 50⁵⁰·150⁵⁰?

Что больше:  ^10...01/_10...01  (в записи числа в числителе – 1984 нуля, в знаменателе – 1985) или  ^10...01/_10...01  (в числителе – 1985 нулей, в знаменателе – 1986).

Что больше:  1234567·1234569  или  1234568²?