Олимпиадные задачи из источника «глава 16. Неравенства» для 10 класса
глава 16. Неравенства
НазадДокажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i>, <i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>, то наибольшая из сумм вида <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>1</sub></sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>2</sub></sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>k<sub>n</sub></sub></i> (<i>k</i><sub>1</sub>, <i>k</i><sub>2<...
Докажите неравенство (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²) при <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].
<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что <i>n<sup>n</sup></i> > (<i>n</i> + 1)<sup><i>n</i>–1</sup>.
Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при <i>a, b, c , d e</i> ≥ 0 имеет место неравенство <div align="CENTER" class="mathdisplay"><img width="206" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30881/problem_30881_img_2.gif"> </div>
Докажите, что при <i>x</i> ≥ 0 имеет место неравенство 3<i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + 4 ≥ 0.
<i>a, b, c</i> – положительные числа. Докажите, что <img width="113" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30872/problem_30872_img_2.gif">
<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что <img width="286" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30871/problem_30871_img_2.gif">
Докажите, что <i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> + 8 ≥ 8<i>xy</i> при любых <i>x</i> и <i>y</i>.
Докажите, что <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xy + yz + zx</i>  при любых <i>x, y, z</i>.
Докажите, что 4<sup>79</sup> < 2<sup>100</sup> + 3<sup>100</sup> < 4<sup>80</sup>.