Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Инвариант» для 5-10 класса - сложность 2 с решениями
глава 12. Инвариант
НазадНа столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?
Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя из них разрешается проделывать следующее: если эти числа равны <i>a</i> и <i>b</i>, то их можно заменить на <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_2.gif"> и <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_3.gif"> . Можно ли с помощью таких операций получить тройку <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_4.gif"> из тройки <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_5.gif">
В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i>. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?
На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?
В таблице<i>m</i> × <i>n</i>расставлены числа так, что сумма чисел в любой строке или столбце равна 1. Докажите, что<i>m</i> = <i>n</i>.Примечание. Как ни странно, но в некотором смысле это тоже задача на инвариант.
На доске написано число 8<sup><i>n</i></sup>. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если<i>n</i> = 1989?
Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?
В странах Диллии и Даллии денежными единицами являются диллеры и даллеры соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер меняется на 10 диллеров. Начинающий финансист имеет 1 диллер и может свободно перезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не сравняется с количеством диллеров.
Фигура "верблюд" ходит по доске 10 × 10 ходом типа (1, 3) (то есть, она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа (1, 2)). Можно ли пройти ходом "верблюда" с какого-то исходного поля на соседнее с ним?
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1989. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел.
Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске стали нулями?
В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
В таблице 3×3 одна из угловых клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
В таблице 8×8 одна из клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
На шести ёлках сидят шесть чижей, на каждой ёлке – по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении.
а) Могут ли все чижи собраться на одной ёлке?
б) А если чижей и ёлок – семь?
На доске выписаны числа 1, 2, ..., 20. Разрешается стереть любые два числа <i>a</i> и <i>b</i> и заменить их на число <i>ab + a + b</i>.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа <i>a</i> и <i>b</i> и вместо них написать число <i>a + b</i> – 1.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора.
Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?
В алфавите языка племени УЫУ всего две буквы: У и Ы. Известно, что смысл слова не изменится
если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ и
при добавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ.
Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и ЫУУ имеют одинаковый смысл?