Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2» для 5-6 класса
глава 10. Делимость-2
НазадРешите в натуральных числах уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².
Решите уравнение в целых числах: <i>x</i>³ + 3 = 4<i>y</i>(<i>y</i> + 1).
Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на <i>m</i> полей вправо или на <i>n</i> полей влево. При каких <i>m</i> и <i>n</i> она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?
Докажите, что <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub>...<i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>a<sub>n</sub></i></span> ≡ <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>a<sub>n</sub></i></span> (mod 4).
Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю
а) 10; б) 2; в) 5.
Докажите, что <i>n</i>² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном <i>n</i>.