Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Уравнения третьей степени» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что если <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃ – корни уравнения  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0, то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61267/problem_61267_img_2.gif">

При всех значениях параметра <i>a</i> найдите число действительных корней уравнения  <i>x</i>³ – <i>x – a</i> = 0.

Решите уравнение  <i>x</i>³ + <i>x</i> – 2 = 0  подбором и по формуле Кардано.

Докажите равенство <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61255/problem_61255_img_2.gif"> + <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61255/problem_61255_img_3.gif"> = 1.

Докажите, что график многочлена

  а)  <i>x</i>³ + <i>px</i>;   б)  <i>x</i>³ + <i>px + q</i>;   в)  <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>

имеет центр симметрии.