Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
глава 8. Алгебра + геометрия
НазадПусть<div align="CENTER"> <i>u</i><sub>k</sub> = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$. </div>Докажите, что числа<i>u</i><sub>k</sub>можно представить в виде многочлена от cos <i>x</i>.
<b>Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона.</b>Докажите, что из системы (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>) следуют равенства<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \begin{array}{c} \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos \alpha,\\cos B=-\cos A\cos C+\sin A\sin C\cos \beta,\\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos \gamma,\ \hbox{\rm tg\ }\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}=\sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}, \end{array} \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER...
<b>Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла.</b>Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами$\alpha$,$\beta$,$\gamma$и противолежащими им двугранными углами<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Для него справедлива теорема синусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.7</a>) и две теоремы косинусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>), (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161248">8.8</a>) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства<div align="CENTER"> <!...
Докажите, что числа Фибоначчи{<i>F</i><sub>n</sub>} удовлетворяют соотношению<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \hbox{\rm arctg\ }F_{2n}-\hbox{\rm arctg\ } F_{2n+2}=\hbox{\rm arctg\ }F_{2n+1}. \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"><i>arcctg</i> <i>F</i><sub>2n</sub> - <i>arcctg</i> <i>F</i><sub>2n + 2</sub> = <i>arcctg</i> <i>F</i><sub>2n + 1</sub>.</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (8.2)</td></tr> </table></div><...
Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_1\cdot a_2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_2\cdot a_3}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_n\cdot a_{n+1}}}$, </div>если числа<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,...,<i>a</i><sub>n + 1</sub>образуют арифметическую прогрессию с разностью<i>r</i>(<i>a</i><sub>1</sub>> 0,<i>r</i>> 0).
Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+1\cdot2x^2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+2\cdot 3x^2}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+n\cdot(n+1)x^2}}$ (<i>x</i> > 0). </div>
Докажите, что если сумма<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub>cos($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + <i>x</i>) + <i>a</i><sub>2</sub>cos($\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + <i>x</i>) +...+ <i>a</i><sub>n</sub>cos($\displaystyle \alpha_{n}^{}$ + <i>x</i>) </div>при<i>x</i>= 0 и<i>x</i>=<i>x</i><sub>1</sub>$\ne$<i>k</i>$\pi$(<i>k</i> — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех<i>x</i>.
На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каждым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку.
Пусть <i>u</i> – точка на единичной окружности <i>z</i><img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61197/problem_61197_img_2.gif"> = 1 и <i>u</i><sub>1</sub>, <i>u</i><sub>2</sub>, <i>u</i><sub>3</sub> – основания перпендикуляров, опущенных из <i>u</i> на стороны <i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub>, <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>3</sub>, <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub> вписанного в эту окружностьтреугольника <i>a</i><...
Точки <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> и <i>a</i><sub>3</sub> расположены на единичной окружности <i>z<span style="text-decoration: overline;">z</span></i> = 1.
Докажите, что точка <i>h = a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub> является ортоцентром треугольника с вершинами в точках <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> и <i>a</i><sub>3</sub>.
На плоскости даны три окружности <i>S</i><sub>1</sub>, <i>S</i><sub>2</sub> и <i>S</i><sub>3</sub>. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке <i>Q</i>, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.
Точка <i>Q</i> называется <i>радикальным центром</i> окружностей <i>S</i><sub>1</sub>, <i>S</i><sub>2</sub> и <i>S</i><sub>3</sub>.
Докажите, что геометрическое место точек <i>M</i>, cтепень которых относительно окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> одинакова, является прямой.
Такая прямая называется <i>радикальной осью</i> окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>.
Докажите, что cтепень точки <i>w</i> относительно окружности <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0 равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61190/problem_61190_img_2.gif">
Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0. Пусть образ этой линии при отображении <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61189/problem_61189_img_2.gif"> задается уравнением <i>A'z<span style="text-decoration: overline;">z</span> + B'z – <span style="text-decoration: overline;">B'</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C'</i>...
Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.
Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения <i>w</i> = <img width="37" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61187/problem_61187_img_2.gif"> и комплексного сопряжения <i>w = <span style="text-decoration: overline;">z</span></i> инверсию относительно окружности
а) с центром <i>i</i> и радиусом <i>R</i> = 1;
б) с центром <i>Re</i><sup><i>i</i>φ</sup> и радиусом <i>R</i>;
в) с центром <i>z</i><sub>0</sub> и радиусом <i>R</i>.
Докажите, что отображение <i>w</i> = <img width="14" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61186/problem_61186_img_2.gif"> является инверсией относительно единичной окружности.
Докажите, что уравнение <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0 при отображениях <i>w = z + u</i> и <i>w = <sup>R</sup></i>/<sub><i>z</i></sub> переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161183">161183</a>).
Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0, где <i>A</i> и <i>C</i> – чисто мнимые числа.
Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.
Как изменяется двойное отношение <i>W</i>(<i>z</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>2</sub>, <i>z</i><sub>3</sub>, <i>z</i><sub>4</sub>) при действии отображения <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61182/problem_61182_img_2.gif">?
<i>Двойным отношением</i> четырёх комплесных чисел называется число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_2.gif"> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161180">161180</a>). Пусть <i>w</i><sub>1</sub>, <i>w</i><sub>2</sub>, <i>w</i><sub>3</sub>, <i>w</i><sub>4</sub> – четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_3.gif"> переводит данные четыре точки <i>z</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>2&l...
Докажите, что условием того, что четыре точки <i>z</i><sub>0</sub>, <i>z</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>2</sub>, <i>z</i><sub>3</sub> лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность числа <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61180/problem_61180_img_2.gif">
Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде <i>Bz</i> – <span style="text-decoration: overline;"><i>B</i></span> <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> + <i>C</i> = 0, где <i>C</i> – чисто мнимое число.
Положительные числа <i>a, b, c, x, y</i>, таковы, что
<i>x</i>² + <i>xy + y</i>² = <i>a</i>²,
<i>y</i>² + <i>yz + z</i>² = <i>b</i>²,
<i>x</i>² + <i>xz + z</i>² = <i>c</i>².
Выразите величину <i>xy + yz + xz</i> через <i>a, b и c</i>.