Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Тригонометрия» для 8-11 класса - сложность 3-5 с решениями
параграф 3. Тригонометрия
НазадПусть числа<i>u</i><sub>k</sub>определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества: а)1 -<i>u</i><sub>1</sub>+<i>u</i><sub>2</sub>-<i>u</i><sub>3</sub>+...+<i>u</i><sub>2n</sub>= 2<sup>n</sup>(1 - cos <i>x</i>)(1 - cos 3<i>x</i>)...(1 - cos(2<i>n</i>- 1)<i>x</i>); б)1 -<i>u</i><sub>1</sub><sup>2</sup>+<i>u</i><sub>2</sub><sup>2</sup>-<i>u</i><sub>3</sub><sup>2</sup>+...+<i>u</i><sub>2n</sub><sup>2</sup>= (- 1)<sup>n</sup>${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+...
Пусть<div align="CENTER"> <i>u</i><sub>k</sub> = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$. </div>Докажите, что числа<i>u</i><sub>k</sub>можно представить в виде многочлена от cos <i>x</i>.
<b>Формулы Рамануджана.</b>Докажите следующие тождества: а)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{5-3\sqrt[3]7}{2}}$; б)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt[3]9-6}{2}}$.
<b>Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона.</b>Докажите, что из системы (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>) следуют равенства<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \begin{array}{c} \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos \alpha,\\cos B=-\cos A\cos C+\sin A\sin C\cos \beta,\\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos \gamma,\ \hbox{\rm tg\ }\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}=\sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}, \end{array} \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER...
Докажите, что числа Фибоначчи{<i>F</i><sub>n</sub>} удовлетворяют соотношению<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \hbox{\rm arctg\ }F_{2n}-\hbox{\rm arctg\ } F_{2n+2}=\hbox{\rm arctg\ }F_{2n+1}. \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"><i>arcctg</i> <i>F</i><sub>2n</sub> - <i>arcctg</i> <i>F</i><sub>2n + 2</sub> = <i>arcctg</i> <i>F</i><sub>2n + 1</sub>.</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (8.2)</td></tr> </table></div><...
Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_1\cdot a_2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_2\cdot a_3}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_n\cdot a_{n+1}}}$, </div>если числа<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,...,<i>a</i><sub>n + 1</sub>образуют арифметическую прогрессию с разностью<i>r</i>(<i>a</i><sub>1</sub>> 0,<i>r</i>> 0).
Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+1\cdot2x^2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+2\cdot 3x^2}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+n\cdot(n+1)x^2}}$ (<i>x</i> > 0). </div>
Найдите алгебраическую связь между углами$\alpha$,$\beta$и$\gamma$, если известно, что<div align="CENTER"> <i>tg</i> $\displaystyle \alpha$ + <i>tg</i> $\displaystyle \beta$ + <i>tg</i> $\displaystyle \gamma$ = <i>tg</i> $\displaystyle \alpha$<sup> . </sup><i>tg</i> $\displaystyle \beta$<sup> . </sup><i>tg</i> $\displaystyle \gamma$. </div>
Упростите выражения: а)sin${\dfrac{\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...sin${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; б)sin${\dfrac{\pi}{2n}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n}}$...sin${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$; в)cos${\dfrac{\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...cos${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; г)cos${\dfrac{\pi}{2n}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n}}$...cos${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$.