Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Многочлены с кратными корнями» для 10-11 класса - сложность 3-5 с решениями
параграф 4. Многочлены с кратными корнями
НазадДокажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + ... + a<sub>n</sub>x<sup>n</sup></i> имеет число –1 корнем кратности <i>m</i> + 1 тогда и только тогда, когда выполнены условия:
<i>a</i><sub>0</sub> – <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> – <i>a</i><sub>3</sub> + ... + (–1)<i><sup>n</sup>a<sub>n</sub></i> = 0,
– <i>a</i><sub>1</sub> + 2<i>a</i><sub>2</sub> – 3<i>a</i><sub>3</sub> + ... + (–1)<i>&l...
Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) делится на свою производную тогда и только тогда, когда <i>P</i>(<i>x</i>) имеет вид <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub></i>(<i>x – x</i><sub>0</sub>)<sup><i>n</i></sup>.
Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i><sup><i>n</i>+1</sup> – 1)(<i>x</i><sup><i>n</i>+2</sup> – 1)...(<i>x<sup>n+m</sup></i> – 1) делится на <i>Q</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i> – 1)(<i>x</i><sup>2</sup> – 1)...(<i>x<sup>m</sup></i> – 1).
Докажите, что многочлен<i>x</i><sup>2n</sup>-<i>nx</i><sup>n + 1</sup>+<i>nx</i><sup>n - 1</sup>- 1 при<i>n</i>> 1 имеет трехкратный корень<i>x</i>= 1.
Докажите, что многочлен<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = 1 + <i>x</i> + $\displaystyle {\frac{x^2}{2!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{x^n}{n!}}$ </div>не имеет кратных корней.