Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Квадратный трехчлен» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Рассмотрим графики функций  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>,  которые пересекают оси координат в трёх различных точках.

Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.

Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоскости, из которых к параболе<i>y</i>= 2<i>x</i>²можно провести две перпендикулярные друг другу касательные.

Для многочленов  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>g</i>(<i>y</i>) = <i>y</i>² + <i>py + q</i>  с корнями <i>x</i>₁, <i>x</i>₂ и <i>y</i>₁, <i>y</i>₂ соответственно, выразите через <i>a, b, p, q</i> их результант <div align="CENTER"><i>R</i>(<i>f, g</i>) = (<i>x</i>₁ – <i>y</i>₁)(<i>x</i>₁ – <i>y</i>₂)(<i>x</i>₂ –...