Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Десятичные дроби» для 4-8 класса - сложность 3-5 с решениями

  Число  <i>N</i> = 142857  обладает и рядом других свойств. Например:  2·142857 = 285714,  3·142857 = 428571,  ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;  14 + 28 + 57 = 99;  <i>N</i>² = 20408122449,  20408 + 122449 = 142857 = <i>N</i>.

  Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.

Периодом дроби ¹/₇ является число  <i>N</i> = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток

142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  <i>q</i> > 5  и натурального  <i>p < q</i>  период дроби ^<i>p</i>/_<i>q</i> есть такое 2<i>n</i>-значное число  <i>N</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>N</i>₁<i>N</i>₂</span>,  что  <i>N</i>₁ + <i>N</i>₂ = <img width="54" he...