Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Арифметика остатков» - сложность 1 с решениями

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

Докажите, что два класса <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i></span> и <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i></span> совпадают тогда и только тогда, когда  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>).

Докажите, что класс <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i></span> состоит из всех чисел вида  <i>mt + a</i>,  где <i>t</i> – произвольное целое число.

Докажите, что если  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и   <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>),  то

  а)  <i>a + c ≡ b + d</i> (mod <i>m</i>);   б)  <i>ac ≡ bd</i> (mod <i>m</i>).

Что означают записи:   а) <i>a ≡ b</i> (mod 0);   б)  <i>a ≡ b</i> (mod 1)?

Докажите, что числа    а)  2^3²⁰⁰¹ + 1;     б)  2^3²⁰⁰¹ – 1   – составные.

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3<i>n</i> одинаковых цифр, делится на 37.

Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел <i>a</i> и <i>b</i> из одного множества число  <i>ab</i> – 1  принадлежало другому?

Пусть <i>m</i> и <i>n</i> – целые числа. Докажите, что  <i>mn</i>(<i>m + n</i>)  – чётное число.

Можно ли так расставить знаки "+" или "–" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?

а) Докажите, что  <i>p</i>² – 1  делится на 24, если <i>p</i> – простое число и  <i>p</i> > 3.

б) Докажите, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.

Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?