Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сравнения» для 7-8 класса - сложность 3-4 с решениями

Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, при этом  <i>x_k</i> = ±1.  Доказать, что если  <i>x</i>₁<i>x</i>₂ + <i>x</i>₂<i>x</i>₃ + ... + <i>x_nx</i>₁ = 0,  то <i>n</i> делится на 4.

Докажите, что числа  <i>H_n</i> = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ... + ¹/_<i>n</i>  при  <i>n</i> > 1  не будут целыми.

Докажите, что <i>p</i> – простое тогда и только тогда, когда   (<i>p</i> – 2)! ≡ 1 (mod <i>p</i>).

Докажите, что для простого <i>p</i>   (<i>p</i> – 1)! ≡ – 1 (mod <i>p</i>).

Целые числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ + <i>d</i>⁴  делится на 5. Докажите, что <i>abcd</i> делится на 625.