Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Четность» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
параграф 1. Четность
НазадПредположим, что требуется передать сообщение, состоящее из <i>n</i>² нулей и единиц. Запишем его в виде квадратной таблици <i>n</i>×<i>n</i>. Допишем к каждой строке сумму её элементов по модулю 2. Получится еще один столбец высоты <i>n</i>. Аналогично поступим с каждым столбцом (в том числе найдём и сумму элементов дописанного столбца). Например, если требуется передать сообщение 0111, то таблица 2×2 (рис. слева) окажется дополненной до таблицы 3×3 (рис. справа). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/60648/problem_60648_img_2.gif"></div> а) Докажите, что если при передаче расширенной таблицы (<i>n</i>+1)×(<i>n</i>+1) произойдёт одна ошибка, то эту ошибку можно б...
В клетках квадратной таблицы 4×4 расставлены знаки + и – , как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/60645/problem_60645_img_2.gif"></div>Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке). Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.
Город имеет форму квадрата 5×5: <div align="CENTER"><img width="81" height="81" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/60632/problem_60632_img_2.gif"></div>Какую наименьшую длину может иметь маршрут, если нужно пройти по каждой улице этого города и вернуться в прежнее место? (По каждой улице можно проходить любое число раз.)
В прямоугольном треугольнике длины сторон – натуральные взаимно простые числа.
Докажите, что длина гипотенузы – нечётное число, а длины катетов имеют разную чётность.
Дан выпуклый 2<i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2<i>n</i></sub>. Внутри него взята точка <i>P</i>, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка <i>P</i> принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках <i>A</i><sub>1</sub>,..., <i>A</i><sub>2<i>n</i></sub>.