Задачи и олимпиады по математике

Задача

В клетках квадратной таблицы 4×4 расставлены знаки + и – , как показано на рисунке.

Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке). Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.

Решение

Отметим в таблице 8 клеток (см. рис.).

Каждая строка и каждый столбец содержат по 2 отмеченных клетки, каждая диагональ – по 0 или 2. Поэтому чётность количества минусов в отмеченных клетках не меняется. Следовательно, минусов в этих клетках всегда будет нечётное число.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления