Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Комбинаторика» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями
Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?
Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
а) Пусть {<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>,..., <i>a<sub>n</sub></i>} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>}, {<i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, <i>a</i><sub>1</sub>}, ..., {<i>a<sub>n</sub></i>, <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub>} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положит...
Сколько существует способов разрезать выпуклый (<i>n</i>+2)-угольник диагоналями на треугольники?
Сколько последовательностей {<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub>}, состоящих из единиц и минус единиц, обладают тем свойством, что <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub> = 0, а все частичные суммы <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub> неотрицательны?
Докажите, что в условии задач <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160445">160445</a> б) и в) числа <sup>1</sup>/<sub>5</sub> и <sup>1</sup>/<sub>20</sub> нельзя заменить большими величинами. >
В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>3</sup>/<sub>20</sub>;
б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>1</sup>/<sub>20</sub>.
Найдите суммы рядов а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_2.gif">
б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_3.gif">
в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_4.gif"> (<i>r</i> ≥ 2).
Найдите сумму (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a> про треугольник Лейбница):
<sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + <sup>1</sup>/<sub>60</sub> + <sup>1</sup>/<sub>105</sub> + ...
и обобщите полученный результат.
Докажите равенства (см. <i>треугольник Лейбница</i>, задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a>): а) 1 = <sup>1</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>6</sub> + <sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>20</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + ... ; б) <sup>1</sup>/<sub>2</sub> = <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + <sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + <sup>1</sup>/<sub>60</sub> + <sup>1</sup>/<sub>105</sub> + ... ; в) <sup>1</sup>/<sub>3&...
Дано 51 различное двузначное число (однозначные числа считаем двузначными с первой цифрой 0). Докажите, что из них можно выбрать 6 таких чисел, что никакие 2 из них не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.