Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Последовательности и ряды» для 7-11 класса - сложность 1 с решениями
глава 11. Последовательности и ряды
НазадДокажите следующие свойства функций <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) (определения функций <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>):
а) <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) = <img width="93" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61522/problem_61522_img_2.gif">, где <i>h<sub>m</sub></i>(<i>x</i>) = (1 – <i>x</i>)(1 – <i>x</i>²)...(1 – <i>x<sup>m</sup></i>) (<i>h</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) = 1)...
Вычислите функции <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) при 0 ≤ <i>k + l</i> ≤ 4 и покажите, что все они являются многочленами.
Определение многочленов Гаусса <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>.
Докажите, что геометрическая прогрессия{<i>a</i><sub>n</sub>} =<i>bx</i><sub>0</sub><sup>n</sup>удовлетворяет соотношению (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.2</a>) тогда и только тогда, когда<i>x</i><sub>0</sub>-- корень характеристического уравнения (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>}.
<i>Определение.</i>Последовательность чисел<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>,..., которая удовлетворяет с заданными<i>p</i>и<i>q</i>соотношению<div><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"> <i>a</i><sub>n+2</sub>=<i>p</i><i>a</i><sub>n+1</sub>+<i>q</i><i>a</i><sub>n</sub> </td><td> (<i>n</i>=0,1,2,...)</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (11.2)</td></tr> </tab...
<i>Определение.</i>Пусть функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>гармонической</i>, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)=1/4(<i>f</i>(<i>x</i>+1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>-1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+1) +<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>-1)). Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и<...
Найдите последовательность {<i>a</i><sub>n</sub>} такую, что$\Delta$<i>a</i><sub>n</sub>=<i>n</i><sup>2</sup>. Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы1<sup>2</sup>+ 2<sup>2</sup>+ 3<sup>2</sup>+...+<i>n</i><sup>2</sup>.
Пусть даны последовательности чисел {<i>a</i><sub>n</sub>} и {<i>b</i><sub>n</sub>}, связанные соотношением$\Delta$<i>b</i><sub>n</sub>=<i>a</i><sub>n</sub>, (<i>n</i>= 1, 2,...). Как связаны частичные суммы<i>S</i><sub>n</sub>последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>}<div align="CENTER"> <i>S</i><sub>n</sub> = <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> +...+ <i>a</i><sub>n</sub> </div>с последовательностью {<i>b</i><sub>n</sub>}?
Найдите <table> <tr><td align="LEFT">а) $\Delta$<i>n</i><sup>2</sup>; </td> <td align="LEFT">в) $\Delta$<i>n</i><sup>k</sup>;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\Delta$<i>n</i>(<i>n</i> - 1); </td> <td align="LEFT">д) $\Delta$<i>C</i><sub>n</sub><sup>k</sup>.</td> </tr> </table>