Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства» для 4-11 класса - сложность 1 с решениями
<i>a, b, c</i> – такие три числа, что <i>a + b + c</i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.
Найдите число всех диаграмм Юнга с весом <i>s</i>, если
а) <i>s</i> = 4; б) <i>s</i> = 5; в) <i>s</i> = 6; г) <i>s</i> = 7.
Определение диаграмм Юнга смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.
Предположим, что имеется набор функций <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>f<sub>n</sub></i>(<i>x</i>), определённых на отрезке [<i>a, b</i>]. Докажите неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61400/problem_61400_img_2.gif"> </div>
Докажите, что уравнение <sup><i>x</i></sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup><i>y</i></sup>/<sub><i>z</i></sub> + <sup><i>z</i></sup>/<sub><i>x</i></sub> = 1 неразрешимо в натуральных числах.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: (1 +<sup><i>x</i></sup>/<sub><i>y</i></sub>)(1 +<sup><i>y</i></sup>/<sub><i>z</i></sub>)(1 +<sup><i>z</i></sup>/<sub><i>x</i></sub>) ≥ 8.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61379/problem_61379_img_2.gif">
Докажите для положительных значений переменной неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61364/problem_61364_img_2.gif">
Докажите для положительных значений переменных неравенство <img width="56" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61362/problem_61362_img_2.gif"> ≤ <img width="46" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61362/problem_61362_img_3.gif">.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61360/problem_61360_img_2.gif">
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>x</i>² +<i>y</i>² + 1 ≥<i>xy + x + y</i>.
Докажите неравенство <img width="41" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61356/problem_61356_img_2.gif"> ≤ <img width="51" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61356/problem_61356_img_3.gif"> для положительных значений переменных.
Докажите неравенство для положительных значений переменных:
<img width="114" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61355/problem_61355_img_2.gif"> ≥ <img width="33" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61355/problem_61355_img_3.gif"> + <img width="33" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61355/problem_61355_img_4.gif">.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: (<i>a + b + c + d</i>)² ≤ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²).
Докажите, что <img width="73" height="61" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61353/problem_61353_img_2.gif"> ≥ <img width="43" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61353/problem_61353_img_3.gif">.
Докажите, что <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xy + yz + zx</i>  при любых <i>x, y, z</i>.
Докажите, что <i>x</i> + <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> ≥ 2 при <i>x</i> > 0.