Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Симметрические неравенства» для 4-11 класса - сложность 3-5 с решениями

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161424">161424</a>):

  а)  <i>x</i>⁴<i>y</i>²<i>z + y</i>⁴<i>x</i>²<i>z + y</i>⁴<i>z</i>²<i>x + z</i>⁴<i>y</i>²<i>x + x</i>⁴<i>z</i>²<i>y + z</i>⁴<i>x</i>²<i>y</i> ≥ 2(<i>x</i>³<i>y</i>²<i>z</i>² + <i>x</i>²<i>y</i>³<i>z</i>² + <i>x</i>²<i>y</i>²<i>z</i...

Выведите из <i>неравенства Мюрхеда</i> (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161424">161424</a>) неравенство <i>между средним арифметическим и средним геометрическим</i>.

Пусть  α = (α₁, ..., α_<i>n</i>)  и  β = (β₁, ..., β_<i>n</i>)  – два набора показателей с равной суммой.

Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>  выполняется неравенство  <i>T</i>_α(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>).

Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://...

Докажите неравенства:

  а)  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + <i>z</i>⁴ ≥ <i>x</i>²<i>yz</i> + <i>xy</i>²<i>z</i> + <i>xyz</i>²;

  б)  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ ≥ 3<i>xyz</i>;

  в)  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + <i>z</i>⁴ + <i>t</i>⁴ ≥ 4<i>xyzt</i>;

  г)   <i>x</i>⁵ + <i>y</i>⁵ ≥ <i>x</i>³<i>y</i>² + <i>x</i>²<i>y<...