Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Аксиома индукции» - сложность 1 с решениями
параграф 1. Аксиома индукции
НазадЧисло<i>x</i>таково, что число<i>x</i>+${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном<i>n</i>число<i>x</i><sup>n</sup>+${\frac{1}{x^n}}$также является целым.
<b>Позиционная система счисления.</b>Докажите, что при<i>q</i>$\geqslant$2 каждое натуральное число<i>n</i>может быть единственным образом представлено в виде<div align="CENTER"> <i>n</i> = <i>a</i><sub>k</sub><i>q</i><sup>k</sup> + <i>a</i><sub>k - 1</sub><i>q</i><sup>k - 1</sup> +...+ <i>a</i><sub>1</sub><i>q</i> + <i>a</i><sub>0</sub>, </div>где0$\leqslant$<i>a</i><sub>0</sub>,...,<i>a</i><sub>k</sub><<i>q</i>
Докажите, что если <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа и <i>b</i> ≠ 0, то существует единственная пара чисел <i>q</i> и <i>r</i>, для которой <i>a = bq + r</i>, 0 ≤ <i>r < |b</i>|.