Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 8 класса - сложность 5 с решениями
Точки<i> A</i>2,<i> B</i>2и<i> C</i>2– середины высот<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1остроугольного треугольника<i> ABC </i>. Найдите сумму углов<i> B</i>2<i>A</i>1<i>C</i>2,<i> C</i>2<i>B</i>1<i>A</i>2и<i> A</i>2<i>C</i>1<i>B</i>2.
Окружность, вписанная в четырёхугольник<i> ABCD </i>, касается его сторон<i> DA </i>,<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CD </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Пусть<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3и<i> S</i>4– окружности, вписанные в треугольники<i> AKL </i>,<i> BLM </i>,<i> CMN </i>и<i> DNK </i>соответственно. К окружностям<i> S</i>1и<i> S</i>2,<i> S</i>2и<i> S</i>3,<i> S</i>3и<i> S</i>4,<i> S</i>4и<i> S</i>1проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугол...
Пусть <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> — основания высот <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что прямые Эйлера треугольников <!-- MATH $AB_{1}C_{1}$ --> <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <!-- MATH $BA_{1}C_{1}$ --> <i>BA</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <!-- MATH $CA_{1}B_{1}$ --> <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекаются на окружности девяти...