Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 10 класса - сложность 1 с решениями
В пространстве заданы три луча: <i>DA</i>, <i>DB</i> и <i>DC</i>, имеющие общее начало <i>D</i>, причём ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i> = 90°. Сфера пересекает луч <i>DA</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub>, луч <i>DB</i> – в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, луч <i>DC</i> – в точках <i>C</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>2</sub>. Найдите площадь треугольника <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</s...
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – на стороне <i>AB</i>, причём <i>AM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 3 : 1 и <i><span lang="EN">AK = KL = LB</span></i>. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLNM</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>K</i> – на стороне <i>AC</i>, причём <i>BM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 1 : 2 и <i>CK</i> : <i>AK</i> = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>AMNK</i>.
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна <i>a</i>.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания,
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.