Олимпиадные задачи по теме «Математическая статистика» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Ваня написал на доске число 1, а затем ещё несколько чисел. Как только Ваня пишет очередное число, Митя вычисляет медиану уже имеющегося набора чисел и записывает его себе в тетрадку. В некоторый момент в Митиной тетради записаны числа:  1; 2; 3; 2,5; 3; 2,5; 2; 2; 2; 2,5.

  а) Какое число записано на доске четвёртым?  б) Какое число записано на доске восьмым?

Точку <i>O</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов <i>AOB, AOC</i> и <i>BOC</i> меньше чем

  а) ^10π²/₂₇;

  б) ^2π²/₉.

Дан числовой набор <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>. Рассмотрим функцию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_2.png">.

  а) Верно ли, что функция <i>d</i>(<i>t</i>) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>?

  б) Сравните значения <i>d</i>(<i>c</i>) и <i>d</i>(<i>m</i>), где  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_3.png">,  а <i>m</i> – медиана указанного набора.