Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические методы» для 10-11 класса - сложность 1 с решениями

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом <i>s</i>, если

а)  <i>s</i> = 4;   б)  <i>s</i> = 5;   в)  <i>s</i> = 6;   г)  <i>s</i> = 7.

Определение диаграмм Юнга смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

Докажите, что для монотонно возрастающей функции<i>f</i>(<i>x</i>) уравнения<i>x</i>=<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) и<i>x</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) равносильны.

Докажите равенство   (<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>u</i>² + <i>v</i>²) = (<i>au + bv</i>)² + (<i>av – bu</i>)².