Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 6-8 класса - сложность 5 с решениями

Дан квадрат со<nobr>стороной 1.</nobr>От него отсекают четыре<nobr>уголка —</nobr>четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

а) В треугольнике <i>ABC</i>, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота <i>BB</i>₁. Докажите, что длины отрезков <i>AB</i>₁и <i>CB</i>₁ — рациональные числа. б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.