Задача
а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота BB1. Докажите, что длины отрезков AB1и CB1 — рациональные числа. б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.
Решение
а) Так как AB2-AB12=BB12=BC2- (AC±AB1)2, то AB1= ±(AB2+AC2-BC2)/2AC. б) Пусть диагонали ACи BDпересекаются в точке O. Докажем, например, что число q=BO/ODрациональное (тогда число OD=BD/(q+ 1) тоже рациональное). Проведем в треугольниках ABCи ADCвысоты BB1и DD1. Согласно задаче а) числа AB1и CD1рациональные, а значит, число B1D1тоже рациональное. Пусть E — точка пересечения прямой BB1и прямой, проходящей через точку Dпараллельно AC. В прямоугольном треугольнике BDEкатет ED=B1D1и гипотенуза BD — рациональные числа, поэтому число BE2тоже рациональное. Из треугольников ABB1и CDD1получаем, что числа BB12и DD12рациональные. А так как BE2= (BB1+DD1)2=BB12+DD12+ 2BB1 . DD1, то число BB1 . DD1рациональное. Следовательно, число BO/OD=BB1/DD1=BB1 . DD1/DD12рациональное.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь