Олимпиадные задачи по теме «Функции одной переменной. Непрерывность» - сложность 5 с решениями

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника <i>m×n</i> числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

Для заданных натуральных чисел <i>k₀</i><<i>k₁</i><<i>k₂</i> выясните, какое наименьшее число корней на промежутке <nobr>[0; 2π)</nobr> может иметь уравнение вида sin<i>(k₀x</i>)+<i>A₁</i>·sin(<i>k₁x</i>) +<i>A₂</i>·sin(<i>k₂x</i>)=0где<i>A₁</i>,<i>A₂</i>– вещественные числа.

Пусть<i>l</i>₁,<i>l</i>₂, ...,<nobr><i>l</i>_<i>n</i> —</nobr>несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке<i>X</i>₁,<i>X</i>₂, ...,<i>X</i>_<i>n</i>так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой<i>l</i>_<i>k</i>в точке<i>X</i>_<i>k</i>(для любого натурального<nobr><i>k</i> < <i>n</i>),</nobr>проходил через точку<i>X...