Олимпиадные задачи по теме «Функции нескольких переменных» для 11 класса - сложность 1-5 с решениями

<b>Дискретная теорема Лиувилля.</b>Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>) функция, то есть существует положительная константа<i>M</i>такая, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \forall$(<i>x</i>, <i>y</i>) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$²    | <i>f</i> (<i>x</i>, <i>y</i>)| $\displaystyle \leqslant$ <i>M</i>. </div>Докажите, что функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) равна константе.

Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — гармоническая функция (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>). Докажите, что функции$\Delta_{x}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>+ 1,<i>y</i>) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и$\Delta_{y}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+ 1) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) также будут гармоническими.

<i>Определение.</i>Пусть функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>гармонической</i>, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)=1/4(<i>f</i>(<i>x</i>+1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>-1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+1) +<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>-1)). Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и<...