Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» для 9 класса - сложность 5 с решениями

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.

б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.

в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников верно аналогичное утверждение?

а) В треугольнике <i>ABC</i>, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота <i>BB</i>₁. Докажите, что длины отрезков <i>AB</i>₁и <i>CB</i>₁ — рациональные числа. б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.