Олимпиадные задачи по теме «Выпуклый анализ и линейное программирование» - сложность 4-5 с решениями

Каждой стороне<i>b</i>выпуклого многоугольника<i>P</i>поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в<i>P</i>, одна из сторон которых совпадает с<i>b</i>. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам<i>P</i>, не меньше удвоенной площади многоугольника<i>P</i>.

Даны числа<i>а</i>₁, ...,<i>а_n</i>. Для 1 ≤<i>i</i>≤<i>n</i>положим

<center>

<i>d_i</i> = MAX { <i>a_j</i> | 1 ≤ <i>j</i> ≤ <i>i</i> } - MIN { <i>a_j</i> | <i>i</i> ≤ <i>j</i> ≤ <i>n</i> }

<i>d</i> = MAX { <i>dⁱ</i> | 1 ≤ <i>i</i> ≤ <i>n</i> } </center> а) Доказать, что для любых<i>x</i>₁≤<i>x</i>₂≤ ... ≤<i>x</i>_nвыполняется неравенство

<center&g...