Олимпиадная задача Канеля-Белова по планиметрии и индукции для 10–11 класса
Задача
Каждой сторонеbвыпуклого многоугольникаPпоставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся вP, одна из сторон которых совпадает сb. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонамP, не меньше удвоенной площади многоугольникаP.
Решение
- если двигать одну из вершин (трех)(много)угольника с постоянной скоростью, то его площадь меняется тоже с постоянной скоростью.
- линейная комбинация линейных функций тоже линейна.
- линейная функция достигает максимума (минимума) на границе отрезка.
ПустьP- вершинаM, и число сторонMне меньше 4,R,T- соседние сPвершины. Будем двигатьPпараллельно [RT]. Тогда при движении в любом из двух направлений вершинаMвыйдет на продолжение стороныP.
Применив эти соображения, сведем задачу к случаю, когдаPлежит на продолжении одной из сторонM, т.е. один из угловMравен π.
Но в этом случае дело сводится к многоугольнику с меньшим числом вершин и завершается индукционным спуском.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь