Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 2-8 класса - сложность 3 с решениями

Даны различные натуральные числа <i>a</i>, <i>b</i>. На координатной плоскости нарисованы графики функций  <i>y</i> = sin <i>ax</i>,  <i>y</i> = sin <i>bx</i>  и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число <i>c</i>, отличное от <i>a</i>, <i>b</i> и такое, что график функции  <i>y</i> = sin <i>cx</i>  проходит через все отмеченные точки.

Дан треугольник <i>ABC, AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – его биссектрисы. Известно, что величины углов <i>A, B</i> и <i>C</i> относятся как  4 : 2 : 1.  Докажите, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>A</i>₁<i>C</i>₁.

Докажите следующие равенства:

  а) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_2.gif"> = <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_3.gif"> + <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_4.gif">;

  б) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_5.gif"> = 2 cos<img width="41" height="43" align=&qu...

Докажите иррациональность следующих чисел:а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_2.gif"> ; б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_3.gif"> ; в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_4.gif"> ; г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_5.gif"> ; д)  cos 10° ; е)  tg 10° ; ж)  sin 1° ; з)  log_₂3 .

Пусть  <i>x</i> = sin 18°.  Докажите, что  4<i>x</i>² + 2<i>x</i> = 1.