Олимпиадные задачи по теме «Теория чисел. Делимость» для 5 класса - сложность 1 с решениями

Четверо ребят обсуждали ответ к задаче.

  Коля сказал: "Это число 9".

  Роман: "Это простое число".

  Катя: "Это четное число".

  А Наташа сказала, что это число делится на 15.

Один мальчик и одна девочка ответили верно, а двое остальных ошиблись. Какой ответ в задаче на самом деле?

Помогите Незнайке восстановить пример на деление двух чисел, если известно, что частное в пять раз меньше делимого и в семь раз больше делителя.

Можно ли расставить знаки «+» или «–» между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?

Сможете ли вы найти шесть целых чисел, сумма и произведение которых являются нечётными числами? А двести?

Сумма трёх чисел чётна. Каким — чётным или нечётным — будет их произведение?

Как вы считаете, какой — чётной или нечётной — будет сумма: а) двух чётных чисел; б) двух нечётных чисел; в) чётного и нечётного чисел? Ответ обоснуйте.

Конфеты "Сладкая математика" продаются по 12 штук в коробке, а конфеты "Геометрия с орехами" – по 15 штук в коробке.

Какое наименьшее число коробок конфет того и другого сорта необходимо купить, чтобы тех и других конфет было поровну?

Начнём считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвёртый – указательный, пятый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девятый – мизинец, десятый – безымянный и т. д. Какой палец будет по счету 2004-м?

Попробуйте найти два числа, идущих подряд; у первого из которых сумма цифр равна 8, а второе делится на 8.

Припишите к числу 10 справа и слева одну и ту же цифру так, чтобы полученное четырёхзначное число делилось на 12.

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

а) Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек?

б) А наоборот?

Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

Петя и Миша играют в такую игру. Петя берёт в каждую руку по монетке: в одну – 10 коп., а в другую – 15. После этого содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки – на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя складывает два получившихся произведения и называет Мише результат. Может ли Миша, зная этот результат, определить, в какой руке у Пети – правой или левой – монета достоинством в 10 коп.?

У семи Чебурашек есть по два воздушных шарика: красный и жёлтый.

Могут ли они так поменяться друг с другом шариками, чтобы у каждого было по два шарика одного цвета?

Расставьте по кругу четыре единицы, три двойки и три тройки так, чтобы сумма любых трёх подряд стоящих чисел не делилась на 3.

Чётными или нечётными будут сумма и произведение:

  а) двух чётных чисел?

  б) двух нечётных чисел?

  в) чётного и нечётного чисел?

Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

Можно ли выложить в ряд все 28 косточек домино согласно правилам игры так, чтобы на одном конце ряда оказалось 5, а на другом 6 очков?

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно  а) 1980?  б) 1990?  в) 2000?

Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?

Делится ли число  11·21·31·41·51 – 1  на 10?

Докажите, что любое простое число, большее 3, можно записать в одном из двух видов:  6<i>n</i> + 1  либо  6<i>n</i> – 1,  где <i>n</i> – натуральное число.

Может ли сумма трёх различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?