Олимпиадные задачи по теме «Модуль числа» для 11 класса - сложность 2 с решениями

По заданной последовательности положительных чисел  <i>q</i>₁,..., <i>q_n</i>, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:

    <i>f</i>₀(<i>x</i>) = 1,

    <i>f</i>₁(<i>x</i>) = <i>x</i>,

      ...

    <i>f</i>_<i>n</i>+1(<i>x</i>) = (1 + <i>q_n</i>)<i>xf_n</i>(<i>x</i>) – <i>q_nf</i>_<i>n</i>–1(<i>x</i>).

Докажите, что все вещественные корни <i>n</i>-го мног...

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1. Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

<i>X</i> – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа:   1, <i>X, X</i>², <i>X</i>³, <i>X</i>⁴, ..., <i>X^k</i> (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть   в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \left\vert\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right.$$\displaystyle {\frac{x-y}{1-xy}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right\vert$ < 1, </div>если |<i>x</i>| < 1 и |<i>y</i>| < 1.

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство  |<i>x| + |y</i>| < 100?

Решить уравнение:<div align="CENTER"> | <i>x</i> + 1| - | <i>x</i>| + 3| <i>x</i> - 1| - 2| <i>x</i> - 2| = <i>x</i> + 2. </div>

Петя и Вася играют на отрезке $[0; 1]$, в котором отмечены точки $0$ и $1$. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?

Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.