Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 6 класса - сложность 1 с решениями

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения  <i>a</i>²<i>b</i>² + <i>a</i>² + <i>b</i>² + 1 = 2005.

Верно ли, что многочлен  <i>P</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>² + <i>n</i> + 41  при всех <i>n</i> принимает только простые значения?

Докажите, что квадрат нечётного числа дает остаток 1 при делении на 8.

Вычислить  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/32077/problem_32077_img_2.gif"> .

Сколькими способами число 1979 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел?

Доказать, что  2^2¹⁹⁸⁹– 1  делится на 17.

<i>x</i>² ≡ <i>y</i>² (mod 239).  Доказать, что  <i>x</i> ≡ <i>y</i>  или  <i>x</i> ≡ – <i>y</i>.

Решите в натуральных числах уравнение:

  а)  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 31;

  б)  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 303.

Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.