Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 3-5 класса

Можно ли в записи  2013² – 2012² – ... – 2² – 1²  некоторые минусы заменить на плюсы так, чтобы значение получившегося выражения стало равно 2013?

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.

Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

В кафе Цветочного города автомат выдаёт пончик, если ввести в него число <i>x</i>, при котором значение выражения  <i>x</i>² – 9<i>x</i> + 13  отрицательно. А если ввести число <i>x</i>, при котором отрицательно значение выражения  <i>x</i>² + <i>x</i> – 5,  то автомат выдаёт сироп. Сможет ли Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое?

Замените $\ast$ одинаковыми числами так, чтобы равенство стало верным: $$\frac{20}{\ast} - \frac{\ast}{15} = \frac{20}{15}$$

Вычислить  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/32077/problem_32077_img_2.gif"> .