Олимпиадные задачи по теме «Линейная и полилинейная алгебра» для 1-8 класса - сложность 2-4 с решениями
Линейная и полилинейная алгебра
НазадНа табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.
В таблицу записано девять чисел: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98418/problem_98418_img_2.gif"></div>Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:<div align="center"><i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub> = <i>b</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>2</sub> + <i>b</i><sub>3</sub> = <i>c</i><sub>1</sub> + <i>c</i><sub>2</sub> + <i>c</i><sub>3</sub> = <i>a</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>1</sub> + &...
В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.
Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. <i>Моментом</i> гири называется произведение <i>ms</i> массы гири <i>m</i> на расстояние <i>s</i> он нее до середины отрезка.)
Докажите, что если 6<i>n</i> + 11<i>m</i> делится на 31, то <i>n</i> + 7<i>m</i> также делится на 31.
Докажите, что для нечётных чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> имеет место равенство (½ (<i>b + c</i>), ½ (<i>a + c</i>), ½ (<i>a + b</i>)) = (<i>a, b, c</i>).
Известно, что выражение 14<i>x</i> + 13<i>y</i> делится на 11 при некоторых целых <i>x</i> и <i>y</i>. Докажите, что 19<i>x</i> + 9<i>y</i> также делится на 11 при таких <i>x</i> и <i>y</i>.
Каков наибольший возможный общий делитель чисел 9<i>m</i> + 7<i>n</i> и 3<i>m</i> + 2<i>n</i>, если числа <i>m</i> и <i>n</i> не имеют общих делителей, кроме единицы?