Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 11 класса - сложность 4 с решениями
Комплексные числа
НазадНа доске написаны три функции: <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = <i>x</i> + <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub>, <i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i>) = <i>x</i>², <i>f</i><sub>3</sub>(<i>x</i>) = (<i>x</i> – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub>.
Докажите, что если стереть с доски любую из функций <i>f</i&...
Пусть <i>p = a<sub>m</sub></i>10<i><sup>m</sup> + a</i><sub><i>m</i>–1</sub>10<sup><i>m</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>0</sub> – простое число, записанное в десятичной системе счисления. Докажите, что многочлен
<i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>m</sub>x<sup>m</sup> + a</i><sub><i>m</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>m</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + a</i><sub>0</sub> неприводим над целыми числами.
Для каждого натурального <i>n</i> > 1 существует такое число <i>c<sub>n</sub></i>, что для любого <i>x</i> произведение синуса числа <i>x</i>, синуса числа <i>x</i> + <sup>π</sup>/<sub><i>n</i></sub>, синуса числа
<i>x</i> + <sup>2π</sup>/<sub><i>n</i></sub>, ..., наконец, синуса числа <i>x</i> + <sup>(<i>n</i> – 1)π</sup>/<sub><i>n</i></sub> равно произведению числа <i>c<sub>n</sub></i> на синус числа <i>nx</i>. Докажите это и найдите величину <i>c<sub>n</sub></i>.
Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.
а) Докажите, что при нечётном <i>n</i> > 1 справедливо равенство: <img width="31" height="76" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_2.gif"><img width="29" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_3.gif"> = <img width="25" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_4.gif"> – <img width="26" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_5.gif">θ (0 < θ < 1).
б) Докаж...