Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 11 класса - сложность 1 с решениями

Докажите, что точка  <i>m</i> = ¹/₃ (<i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃)  является точкой пересечения медиан треугольника <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃.

Докажите, что прямая, проходящая через точки <i>z</i>₁ и <i>z</i>₂ – это геометрическое место точек <i>z</i>, для которых  <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_2.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_3.gif">.

z₂, <i>z</i>₁, <i>z</i>₀ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_2.gif">   – вещественное число, или   <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_3.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_4.gif">.

Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке <i>z</i>₀ и проходящими через точки <i>z</i>₁ и <i>z</i>₂, равен аргументу отношения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61176/problem_61176_img_2.gif">

Пусть <i>z</i>₁ и <i>z</i>₂ – фиксированные точки комплексной плоскости. Дайте геометрическое описание множеств всех точек <i>z</i>, удовлетворяющих соотношениям:

  а)  arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_2.gif"> = 0;   б)  arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_3.gif"> = 0.

Докажите, что числа <i>w_k</i>  (<i>k</i> = 0, ..., <i>n</i> – 1),  являющиеся корнями уравнения  <i>wⁿ</i> = <i>z</i>,  при любом  <i>z</i> ≠ 0  располагаются в вершинах правильного <i>n</i>-угольника.

Решите в комплексных числах следующие квадратные уравнения:

&nbsp а)  <i>z</i>² + <i>z</i> + 1 = 0;   б)  <i>z</i>² + 4<i>z</i> + 29 = 0;   в)  <i>z</i>² – (2 + <i>i</i>)<i>z</i> + 2<i>i</i> = 0;   г)  <i>z</i>² – (3 + 2<i>i</i>)<i>z</i> + 6<i>i</i> = 0;   д)  <i>z</i>² – (3 – 2<i>i</i>)<i>z</i> + 5 – 5<i>i</i> = 0;   е)  <i>z</i>² – (5 + 2<i>i</i>)<i>z</i> + 5 + 5<i>i</i> = 0.

Вычислите

&nbsp а)  <img width="58" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_2.gif">; &nbsp б) &nbsp<img width="87" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_3.gif">;   в)  <img width="74" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_4.gif">;   г)  <img width="74" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_5.gif">;   д)  <img width="79" height="35&...

Докажите, что квадратные корни из комплексного числа  <i>z = a + ib</i>  находятся среди чисел <div align="CENTER"><i>w</i> = ± <img width="20" height="74" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61079/problem_61079_img_2.gif"><img width="114" height="74" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61079/problem_61079_img_3.gif"> ± <i>i</i> <img width="114" height="74" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61079/problem_61079_img_4.gif"><img width="20" height="74" align="MIDDLE" border="0" sr...

Докажите равенство   (<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>u</i>² + <i>v</i>²) = (<i>au + bv</i>)² + (<i>av – bu</i>)².

Докажите, что для произвольных комплексных чисел <i>z</i>> и <i>w</i> выполняется равенство  |<i>z + w</i>|² + | <i>z – w</i>|² = 2(|<i>z</i>|² + |<i>w</i>|²).

Какой геометрический смысл оно имеет?

Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости:

  а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси;

  б) первый квадрант, не включая координатных осей;

  в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее 2;

  г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке <i>O</i>, расположенный не выше действительной оси.

Найдите  min |3 + 2<i>i – z</i>|  при  |<i>z</i>| ≤ 1.

Представьте в тригонометрической форме числа:

  а)  1 + <i>i</i>;   б)  2 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61069/problem_61069_img_2.gif"> + <i>i</i>;   в)  1 + cos φ + <i>i</i>sin φ;   г)  sin ^π/₆ + <i>i</i>sin ^π/₆;   д)  <img width="103" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61069/problem_61069_img_3.gif">.

Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенств:

  а)  |<i>z + w</i>| ≤ |<i>z</i>| + |<i>w</i>|;   б)  |<i>z – w</i>| ≥ ||<i>z</i>| – |<i>w</i>||;   в)  |<i>z</i> – 1| ≤ |arg <i>z</i>|,  если  |<i>z</i>| = 1.

Докажите равенства:

  а)  <i>z</i> + <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61067/problem_61067_img_2.gif"> = 2Re <i>z</i>;   б)  <i>z</i> – <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61067/problem_61067_img_2.gif"> = 2<i>i</i> Im <i>z</i>;   в)  <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61067/problem_61067_img_2.gif"><i>z</i> = |<i>z</i>|².

Докажите равенства:

  а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_2.gif">   б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_3.gif">   в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_4.gif">   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_5.gif">   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_6.gif">

Пусть  <i>z = x + iy,  w = u + iv</i>.  Найдите

  а)  <i>z + w</i>;   б)  <i>zw</i>;   в)  ^<i>z</i>/_<i>w</i>.