Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» для 1-5 класса - сложность 2-5 с решениями
Алгебраические неравенства и системы неравенств
НазадНайдите все пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, обладающие следующим свойством: 7<i>p</i> + 1 делится на <i>q</i>, а 7<i>q</i> + 1 делится на <i>p</i>.
Какое из чисел больше: 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – ... + 99 – 100 или 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... – 99 + 100?
Последовательности положительных чисел (<i>x<sub>n</sub></i>) и (<i>y<sub>n</sub></i>) удовлетворяют условиям <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109842/problem_109842_img_2.gif"> при всех натуральных <i>n</i>. Докажите, что если все числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>y</i><sub>1</sub>, <i>y</i><sub>2</sub> больше 1, то <i>x<sub>n</sub> > y<sub>n</sub></i> при каком-нибудь натуральном <i>n</i>.
Из спичек составлены три неверных равенства (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88248/problem_88248_img_2.gif"></div>Переставьте в каждом ряду по одной спичке так, чтобы все равенства стали верными. Можно смещать части формулы без изменения рисунка.
Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Известно, что чемодан весит больше, чем рюкзак; саквояж и рюкзак весят больше, чем чемодан и корзина; корзина и саквояж весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Перечислите вещи дамы в порядке убывания их веса.
Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
Замените каждую букву на схеме цифрой от 1 до 9 так, чтобы выполнялись все неравенства, а затем расставьте буквы в порядке возрастания их числовых значений. Какое слово у вас получилось? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/87968/problem_87968_img_2.gif"></div>
Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов – 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов – 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшую сумму (денег) он может получить за сокровища, которые он принесёт из пещеры за один раз?