Олимпиадная задача по планиметрии для 9 класса: геометрическое место середин

  Пусть AA₁, BB₁ – высоты треугольника ABC. Тогда  ∠A'AA₁ = ∠PAH = ∠PBH = ∠B'BB₁.  Следовательно, треугольники A'AA₁ и B'BB₁ подобны. Далее можно рассуждать по разному.   Первый способ. Отсюда следует, что отношение  A'A₁ : B'B₁  не зависит от точки P. Значит, когда точка A' движется по прямой BC с постоянной скоростью, точка B' движется по прямой AC также с постоянной скоростью и середина отрезка A'B' тоже движется по прямой. Взяв в качестве P точки пересечения окружности с AC и BC, отличные от вершин треугольника, убеждаемся, что эта прямая совпадает с A₁B₁ (см. рис.).

  Второй способ. Коэффициент подобия равен  ^AA₁/_BB1 = ^AC/_BC. Таким образом,  A₁A' : B₁B' = AC : BC,  a значит, отношение расстояний от A' и B' до A₁B₁ равно   A'A₁ sin∠CA₁B₁ : B'B₁ sin∠CB₁A₁ = AC sin∠A : BC sin∠B = 1 : 1,  то есть середина A'B' лежит на A₁B₁. Наоборот, для каждой точки на прямой A₁B₁ можно построить отрезок A'B', соединяющий стороны угла BAC, который делится этой точкой пополам. Тогда  AA' : BB' = AC : BC,  и все рассуждения проходят в обратную сторону.

Внутренность отрезка A₁B₁, где AA₁ и BB₁ – высоты треугольника ABC.