Олимпиадная задача по планиметрии: четырёхугольник с вписанной окружностью

  Если ABCD– трапеция (скажем,  AB || CD),  то прямые L'L и N'N имеют общую точку пересечения с серединным перпендикуляром к AB, на котором лежат K, K', M и M'.

  Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые BC и AD – в точке F (см. рис.).

  Заметим, что точкиK'иM'лежат на биссектрисе углаCFD(так как они равноудалены от прямыхBCиAD). Пусть эта биссектриса пересекаетABиCDв точкахPиQсоответственно.   Так как четырёхугольникABCD– вписанный иFP– биссектриса углаCFD, то  ∠FAP= ∠FCQ  и  ∠PFA= ∠CFQ,  то есть треугольникиAFPиCFQподобны. Значит,  ∠EPQ= ∠FPA= ∠FQC= ∠EQP.  Следовательно, биссектриса углаAEDявляется высотой равнобедренного треугольникаEPQ. ПосколькуL'иN'лежат на этой биссектрисе, то  K'M'⊥L'N'.  Но биссектриса углаAEDперпендикулярнаKM, поэтому  KM || K'M'.  Аналогично  LN || L'N'.  ПрямаяKLперпендикулярна биссектрисе углаABC, а значит, параллельна биссектрисе внешнего углаB, следовательно,  K'L' || KL  (аналогично  L'M' || LM).  Таким образом, у треугольниковKLMиK'L'M'соответствующие стороны параллельны, а значит, они гомотетичны.   При этой гомотетииKпереходит вK', аM– вM', и так как параллельные прямые переходят в параллельные, то прямыеKNиMNпереходят вK'N'иM'N'соответственно, значит,Nпереходит вN'. Следовательно, прямыеKK', LL', MM', NN'проходят через центр гомотетии.

Ответ задачи отсутствует