Назад

Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: точка T и биссектриса угла B

Задача 208087 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть RS – средняя линия треугольника, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.

Решение

  Пусть  AB > BC  (случай  AB < BC  разбирается аналогично). Будем считать, что R лежит на AC, S – на BC (рис. слева).   Первый способ. Обозначим  BC = a,  AC = b,  AB = c,  ½ (a + b + c) = p.  Тогда  RQ = b/2 – (p – c) = ½ (c – a).

  Поскольку треугольники PAQ и TRQ подобны, а треугольник PAQ равнобедренный, то  RQ = RT,  а  ST = RS – RQ = c/2 – ½ (c – a) = a/2 = BS.

  Значит, треугольник TSB – равнобедренный и  ∠ SBT = ∠STB = ∠TBA.

  Следовательно, BT – биссектриса угла B треугольника ABC.

               
  Второй способ. Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC, T' – точка пересечения биссектрисы угла ABC с прямой PQ (рис. справа). Обозначим углы треугольника ABC через α, β и γ соответственно. Тогда  ∠OCQ = γ/2,  ∠OT'Q = ∠BPT' + ∠PBT' = (90° + α/2) + β/2 = 180° – γ/2.

  Следовательно, точки O, T', Q и C лежат на одной окружности, а так как  ∠OQC = 90°,  то OC – диаметр этой окружности. Значит,

∠BT'C = ∠OT'C = 90°.  Поскольку T'S – медиана треугольника BT'C, проведённая из вершины прямого угла, то  ∠BT'S = ∠SBT' = ∠PBT',  поэтому

ST' || AB.  Следовательно, точка T' лежит на средней линии SR треугольника ABC, а значит, совпадает с точкой T.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет