Назад

Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса от Васильева Н. Б.

Задача 208048 • Сложность: 2 • 8-9 класс
Задача

Каждая из трёх окружностей радиусов соответственно 1, r и r извне касается двух других.

При каких значениях r существует треугольник, описанный около этих окружностей?

Решение

Допустимые значения r ограничены значениями rmin и rmax "крайних" случаев, показанных на рисунках.

           
Очевидно, что  rmin = ½.  Найдём rmax. Пусть окружности радиусов r, 1 и r касаются некоторой прямой (рис. справа). Тогда  (r + 1)² = (r – 1)² + r²,  откуда

r² = 4r,  то есть  r = 4.

Ответ

½ < r < 4.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет