Олимпиадная задача: Наименьшее число солдат в полку – задача Федорова Р. М.

  Оценка. Пусть m – число колонн, а n – число шеренг. Тогда в полку mn солдат и  ¹/₁₀₀ mn  солдат получили новое обмундирование. Согласно условию, не менее чем в ⁴⁰/₁₀₀ n шеренг есть хотя бы по одному солдату в новом обмундировании, значит,  ^mn/₁₀₀ ≥ ⁴⁰ⁿ/₁₀₀.  Отсюда  m ≥ 40.  Аналогично

^mn/₁₀₀ ≥ ^30m/₁₀₀,  откуда  n ≥ 30. Значит, в полку не менее, чем  40·30 = 1200 солдат.

  Пример. Построим 1200 солдат в виде прямоугольника 30×40 Поставим по диагонали 12 солдат в новом обмундировании (см. рисунок). Ясно, что солдаты в новом обмундировании стоят ровно в 30% колонн и в 40% шеренг.

1200 солдат.