Задачи и олимпиады по математике

Задача

а) Докажите, что найдётся многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении 1 : 2. б) Найдётся ли выпуклый многоугольник с таким свойством?

Решение

а) Например, см. рис. слева.

б) Проведём через центр квадрата два перпендикулярных отрезка, делящих его стороны в отношении 1 : 2 (рис. справа). Они разделят квадрат на четыре равных четырёхугольника. Оставив два соседних, получим прямоугольную трапецию, разделённую согласно условию.

Ответ

б) Найдётся.

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления